Journal d'un Terrien
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Gagner contre le hasard ou la bourse
Auteur : Serge Boisse
Voir aussi: Les 100 prisonniers(lien privé) et Les enveloppes
Résumé : Est-il possible de gagner dans un jeu de type pile ou face ?
Est-ce possible ?
Normalement, non, si l'espérance de gain E est négative ou nulle :
où
Par exemple à la roulette française, pour une mise
- Un nombre pair sort (probabilité 18/37) et vous gagnez 1 Euro.
- Un nombre impair sort (probabilité 18/37) et vous perdez 1 Euro (vous gagnez - 1 Euro).
- Le zéro sort (probabilité 1/37). Tout dépend du coup suivant : un nombre pair sort (proba : 18/37) et vous ne gagnez (ni ne perdez) rien, ou, dans le cas contraire (proba : 19/37) vous perdez votre Euro. Mais, les deux tirages étant indépendants, les probabilités se multiplient. Autrement dit, vous avez 18 chances sur
Mais le vrai monde est plus compliqué que la roulette...
un exemple
Supposons le jeu suivant :
On lance une pièce (truquée) en l'air. Si elle tombe sur face, vous gagnez 2/3 de votre mise. Sinon vous la perdez. Mais la pièce a 70% de chance de tomber sur face.
Vous misez 6 euros. L'espérance de gain est
Elle est positive, et vous décidez de jouer. Mais comment ? Supposons que vous savez que vous ne pourrez jouer que 100 fois. Comment maximiser le gain final ?
Supposons que votre stratégie soit de miser à chaque fois 5 euros. Les choses peuvent se passer de plein de façons différentes :
On peut comparer le gain final, ou le gain final ajusté par le risque, ou même passer le gain final dans une "fonction d'utilité".et utiliser l'utilité moyenne. D'autres choix sont possibles.
Le critère de Kelly
On choisira de calculer le taux d'accroissement moyen (growth rate en anglais)
ou en inversant,
Ce qui donnerait
On va effectuer un grand nombre de simulations en pondérant le taux
Mais plupart des gens sont très loin de tirer le profit maximal de ce jeu. il est en effet possible dans 94% des cas de décupler sa fortune !
quelle est alors la meilleure stratégie ?
Kelly affirme qu'elle consiste à miser un pourcentage (une fraction) fixe de sa fortune à chaque fois, et que cette fraction
où
Dans notre exemple, d'une pièce truquée qui a 70% de chance de tomber sur face et alors de vous faire gagner les 2/3 de votre mise,
Il faut donc miser 25% de votre fortune à chaque fois.
Le taux moyen d'accroissement
Si une pièce truquée (p=0.6) permettait de gagner 100% de la mise, alors il faudrait miser
Si
A la roulette ?
Même pour une chance simple à la roulette française, l'espérance est ici négative. (
Mais on peut essayer de faire durer le jeu, en calculant la probabilité de récupérer plus que notre fortune de départ en appliquant une martingale optimale. supposons que toutes les mises doivent être des multiples entiers de 1 euro.
Pour simplifier un peu, je supposerai que lorsque le zero sort, vous perdez. La probabilité de gain
- Si vous avez un euro, Vous avez 18/37=0.48648 chances de gagner un euro (vous avez donc 2 euros), et 19/37 chances de le perdre.
- Si vous avez deux euros, vous pouvez les miser d'un coup auquel cas on retombe dans les probabilités ci-dessus (18/37 chances d'avoir 4€) ou vous pouvez jouer seulement 1 euro, ce qui donnerait le schéma suivant :
Ce qui vous donne 63,8 % de chances d'arriver à 3 euros, ce qui est bien meilleur.
Si vous avez trois euros, les choses se compliquent. Vous pouvez en miser 2 d'abord, ce qui donne :
Donc au final, 56% de chances d'arriver à 5€
Ou miser un seul euro, ce qui donne :
Et donc au final 63,8 % de chances d'arriver au final à 4€
Il semblerait donc que la bonne stratégie soit de miser un seul euro à la fois. Mais vous savez bien que cette stratégie ne marchera que si vous ne descendez pas trop bas dans les premiers tours de jeu, car sinon vous n'avez presque aucune chance de récupérer votre mise initiale !
Le programme suivant simule ce qui se passe si vous avez un capital de 1000 euros et que vous décidez de miser à chaque fois une certaine proportion de votre capital restant. il boucle 10000 fois et compte un succès chaque fois que vous finissez par dépasser votre capital initial
Conclusion : il faut miser peu pour avoir des chances... de gagner peu.
A la bourse ?
Quand on achète une action à un prix
Le critère de Kelly devient
où
Notons que si le jeu est très en notre faveur (par exemple
on peut modéliser les fluctuations par un mouvement brownien...
Scholes et les options...
cf https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model
et
The Trillion Dollar Equation (video Youtube)
Kelly et les options
Une option call peut être réalisée ou pas : si elle l'est, on gagne la difference de prix
On est donc en droit d'appliquer le critère de Kelly. La partie de sa fortune qu'il faudrait "miser" à chaque achat d'option serait
Jeux à énigmes et paradoxes probabilistes
How Science is Taking the Luck out of Gambling (video Youtube)
Plusieurs idées intéressantes dans cette vidéo
- Lorsque on a un jeu du du style "choisir entre plusieurs chevaux sur lesquels miser", à probabilité de gain égales, il faut miser sur celui qui a la plus grande variabilité (ou dans une élection, le plus controversé)
Question
et si on a "3 chevaux", c'est à dire trois actions dont on normalise les valeurs, mais avec forcément des écarts-types différents ?
#TBC
poker simplifié :
- Dans un jeu comme "On distribue une seule carte piochée au hasard dans un jeu de cartes classique à chacun des deux joueurs : chaque joueur mise 1 euro. Je gagne si j'ai une plus haute carte que mon adversaire ; à chaque tour je peux arrêter pour voir, ou renchérir, et c'est alors à mon adversaire de voir ou renchérir...", le premier joueur doit renchérir si il a une carte haute, et voir si c'est une carte moyenne. Mais si c'est une carte basse, il doit également renchérir car retourner sa carte maintenant signifierait perdre. En d'autres terme, il doit bluffer. (John von Neuman) cf http://datagenetics.com/blog/december32018/index.html
Les 3 portes
les enveloppes
évasion impossible (flip the coin)
Cas réel
En fait l'algo "Delahaye" pour les 3 portes ne marche si
Mais dans le cas de la bourse, en fait :
- on a deux actions A et B (on normalise leurs valeurs respectives pour être égales à t=0 )
- chaque action a une proba 1/2 de monter ou descendre.
- on fait la prédiction maintenant (t=0) que l'action A atteindra le montant
- En fait, il y a trois possibilités :
- soit les deux actions montent (proba 1/4)
- soit les deux actions descendent (proba 1/4)
- soit l'une monte et l'autre descend (proba 1/2)
autres paradoxes de probabilité
#TBC Je n'ai pas encore fini cette page...
Et les stratégies de prisonniers ? cf https://www.youtube.com/watch?v=iSNsgj1OCLA (100 prisonniers et 100 boîtes). Voir mon analyse ici : Les 100 prisonniers(lien privé)
On pourrait imaginer
La bourse
En fait si l'on suppose qu'une action a une chance sur 2 de monter ou de descendre, j'ai six choix possibles :
- ne rien faire
- acheter l'action
- acheter une option call (si je pense que l'action va monter de plus que le prix de l'option)
- acheter une option put (si je pense que l'action va descendre)
- acheter l'action et une option call
- acheter l'action et une option put (si je pense que l'action va descendre)
En réalité c'est encore plus compliqué à cause des ordres à cours limite, des types d'ordre stop loss, take profit etc.
stratégie temporelle pour la bourse
On pourrait imaginer que j'ai le choix entre
à t=0; j'en choisis une, disons
à t=1, je remarque que l'une de celle que je n'ai pas choisie (disons
à t=2 je récolte le le fruit de ma stratégie.
#TBC A VOIR...
Voir aussi :
page créée le 18/03/2025 à 15:09modifiée le 25/11/2025 à 17:21
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